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1Trajectoire optimale d’un avion Introduction Bonjour, Un jour, pendant un vol entre Paris et New York, j’ai regardé par le hublot et je me suis posé une question toute simple : « Pourquoi l’avion passe-t-il par cette trajectoire-là ? » C’est une question d’apparence anodine, mais en réalité, la réponse fait intervenir de nombreux paramètres physiques, mathématiques, et même environnementaux. Aujourd’hui, je souhaite devenir pilote de ligne, et ce sujet m’a permis de comprendre concrètement comment les trajectoires des avions ne sont jamais choisies au hasard. Je vais vous montrer comment les lois de la physique, et les outils mathématiques, permettent de déterminer une trajectoire optimale (plus sûre, plus rapide, et la moins consommatrice en carburant. Je vais donc, dans un premier temps, expliquer les principes physiques qui gouvernent le vol d’un avion, à travers les forces et les lois fondamentales qui s’exercent sur l’avion. Puis, dans un second temps, je vous montrerai comment les mathématiques permettent d’optimiser la trajectoire grâce aux outils comme les dérivées et les fonctions. I. Comprendre les contraintes physiques d’un vol Avant d’optimiser la trajectoire d’un avion, il faut d’abord comprendre les lois physiques qui gouvernent son mouvement. En spécialité physique, on apprend à analyser les forces dans un référentiel donné, et pour ce type d’étude, on considère que l’avion se déplace dans un référentiel terrestre supposé galiléen, c’est-à-dire un référentiel dans lequel la première et la deuxième lois de Newton sont applicables. En particulier, on utilise ici la deuxième loi de Newton, qui relie la somme des forces appliquées à un objet à sa masse et à son accélération : Appliquons cela à un avion en vol stabilisé, c’est-à-dire en croisière, à altitude constante et en ligne droite. Il est alors soumis à quatre forces principales. D’abord, il y a le poids, force verticale dirigée vers le bas, égale à , qui traduit l’interaction gravitationnelle entre la Terre et l’avion. Ensuite, la portance, définie par l’équation de Bernoulli, est une force aérodynamique perpendiculaire à la trajectoire, qui est générée par les ailes et qui compense le poids pour que l’avion reste en l’air. Puis la poussée, produite par les moteurs, qui permet d’avancer, et enfin la traînée, qui est une force de frottement due à l’air et qui s’oppose au mouvement. Dans la phase de croisière, on peut dire que l’avion est en équilibre dynamique : sa vitesse est constante, donc son accélération est nulle, ce qui signifie que la somme des forces est nulle. C’est un cas typique d’application de la deuxième loi de Newton. La portance compense exactement le poids, et la poussée compense la traînée. C’est une situation stable, mais qui dépend de plusieurs paramètres comme l’altitude, la masse de l’avion, et surtout sa vitesse. Ces forces ne sont pas fixes : elles varient avec les conditions de vol. Par exemple, la portance dépend de la vitesse de l’avion, de la densité de l’air, de la surface des ailes, et de la forme du profil aérodynamique. Or, à haute altitude, l’air est plus froid et surtout moins dense. Cela réduit la traînée, donc la résistance de l’air, ce qui est avantageux pour la consommation. Mais cela réduit aussi la portance, donc l’avion doit voler plus vite ou avec un angle d’attaque plus important pour compenser. C’est là qu’on commence à voir qu’il faut trouver un compromis. D’un autre côté, la traînée, qui est une force de frottement fluide, augmente avec la vitesse, et en général, elle est proportionnelle au carré de la vitesse : Cela veut dire que si on double la vitesse, la traînée est multipliée par quatre. Et comme la puissance nécessaire pour maintenir une vitesse constante est donnée par P = F⋅v, elle est donc proportionnelle au cube de la vitesse : En résumé, on voit que le choix de l’altitude et de la vitesse de croisière est crucial pour minimiser la consommation de carburant. On doit voler assez haut pour réduire les frottements, mais pas trop pour conserver une bonne portance sans avoir besoin de trop accélérer. Tout cela repose sur un équilibre de forces que l’on peut modéliser grâce aux lois de Newton, et qui sera à la base de l’analyse mathématique qu’on fera dans la suite de l’exposé. En effet, une fois ces contraintes physiques posées, on peut chercher à optimiser les paramètres du vol pour réduire le carburant consommé. C’est ce que nous allons voir dans la deuxième partie, en mobilisant cette fois les outils des mathématiques. II. Optimiser le vol grâce aux mathématiques Une fois les forces physiques comprises, on peut chercher à optimiser la trajectoire de l’avion pour minimiser la consommation de carburant. Ce problème est typique de ce qu’on fait en spécialité maths en Terminale : on modélise un phénomène réel par une fonction, puis on utilise les dérivées pour étudier les variations de cette fonction et trouver un minimum. 1. Trouver la vitesse optimale, Étude de fonction Supposons que la consommation de carburant d’un avion en croisière dépend de sa vitesse. On note cette consommation : C(v) : fonction de la vitesse v (en km/h). En réalité, si on vole trop lentement, on consomme beaucoup à cause du manque de portance. Et si on vole trop vite, la traînée augmente fortement, donc on consomme aussi plus. Cela donne une fonction convexe, qui forme une courbe en U. On cherche donc le minimum de C(v). Prenons une fonction modèle : C(v) = 0,02v² − 5v + 800 (valable pour des vitesses entre 600 et 1000 km/h) Pour trouver la vitesse qui minimise C(v), on dérive : C′(v) = 0,04v − 5 On résout : 0,04v − 5 = 0 ⟹ v = 125 Mais cette valeur est irréaliste : l’unité ici est artificielle. En fait, les compagnies utilisent des modèles plus complexes, mais le principe est exactement le même : dériver une fonction pour trouver la vitesse optimale v₀. Exemple réel : Pour un Airbus A320, la vitesse de croisière optimale est d’environ 850 km/h, à 11 000 m d’altitude. 3. Calculer la consommation totale — Intégrales On suppose que la consommation instantanée à l’instant t (en heures) est donnée par une fonction : C(t)=1000−10tC(t) = 1000 - 10tC(t)=1000−10t Cela signifie : Au début (t = 0), l’avion consomme 1000 litres par heure. Puis, chaque heure, cette consommation diminue de 10 litres/h. Par exemple : à t = 1 → C(1) = 990 L/h à t = 2 → C(2) = 980 L/h etc. Ce que représente l’intégrale : On cherche la quantité totale de carburant utilisée entre 0 h et 5 h de vol. On la calcule par : Cette intégrale correspond à l’aire sous la courbe de consommation, entre t = 0 et t = 5. Calcul de l’intégrale: On calcule la primitive de 1000−10t, c’est-à-dire une fonction F(t) dont la dérivée est C(t). F(t)=1000t−5t^2 Puis on applique la formule : Donc : 4875 litres de carburant ont été consommés en 5 heures. 4. Trajectoires dans l’espace — Vecteurs Un autre aspect crucial est le choix de la trajectoire de l’avion dans l’espace. Ce n’est pas forcément une ligne droite. Quand un avion vole dans une masse d’air en mouvement (vent), sa vitesse réelle par rapport au sol est la somme vectorielle : 𝑣ₛ = 𝑣ₐ + 𝑣𝑣 𝑣ₐ : vecteur vitesse de l’avion par rapport à l’air 𝑣𝑣 : vecteur du vent 𝑣ₛ : vitesse réelle par rapport au sol Par exemple, si l'avion vole vers l’est à 850 km/h et un vent souffle du sud-ouest à 150 km/h, il doit corriger son cap pour maintenir sa trajectoire. C’est un cas classique de somme de vecteurs : On utilise les coordonnées (x, y), les normes et angles (produit scalaire, trigonométrie). b) Détour stratégique pour consommer moins Parfois, voler plus longtemps permet de moins consommer, si on profite de vents favorables (vents arrière). Par exemple, sur un vol Paris–New York : La route directe fait 5 850 km, Mais en hiver, les avions prennent une trajectoire plus au nord (via le jet-stream). Résultat : ils vont plus vite grâce au vent (jusqu’à +200 km/h) et consomment moins, malgré une distance plus longue. C’est ce qu’on appelle une trajectoire optimale dans un champ de vitesse. Les calculs de direction et d’angle se font grâce aux vecteurs, coordonnées, et trigonométrie.(0)(0)(0)
